如何让学生在数学学习中获得数学的基本思想

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数学，作为自然科学与技术科学的基础，存在于人类社会生活中的各个方面，其独具的思维与方法在人文、社会科学中发挥着越来越重要的作用。当今的数学教育，注重更高数学素质的培养，不只关注基础知识与基本技能，更强调了基本经验和基本思想。数学基本思想作为新课程标准中课程总目标的“四基”之一，旨在引导学生积极参与数学活动，通过思考、交流与合作逐步领悟数学思想，积累活动经验。

一、数学基本思想概述

数学思想，是现实世界的空间形式与数量关系在人们意识中进行反映，并通过思维活动而产生的结果，它是在数学知识形成、发展及应用的过程之中酝酿形成的。

而所谓的数学基本思想，主要是指在数学的产生与发展过程中所依赖的思想，及数学学习后所具有的思维能力。它并非某个个案，而必须是作为一般思想存在的，它是数学教学的主线。原东北师范大学校长，也是义务教育数学课程标准修订组长史宁中先生指出：基本数学思想应该满足两个条件：第一，在数学产生与发展进程中必须依赖的思想；第二，这些思想应满足数学学习者所具备的思维特征，并体现于日常生活之中。

数学基本思想，集中体现为抽象、推理和模型思想。小学数学的教学之中，教师应注重一些基本思想的合理渗透，强化小学生对数学知识的学习能力、思维能力、解题能力、探索能力、归纳总结能力、联想能力以及实践能力的提高，有效培养学生创新意识，增加其学习与探索的兴趣。

二、教学过程中渗透数学基本思想，引导学生不断进行思考

小学处于学生数学学习的启蒙阶段，教师应引导学生对数学的发生、发展过程进行充分体验和感悟，注重学生数学思维的启发，应用科学的教学方法促进学生对数学基本思想的领悟。

（一）数学抽象基本思想的渗透

抽象，作为数学活动最基本的一种思维方法，体现于小学阶段的数学概念、原理的形成以及问题解决的过程之中。数学抽象基本思想的渗透，有利于学生数学眼光和意识的有效培养，逐步深化其抽象水平，提高其分析与解决问题的能力等。

例如，对自然数的理解，小学生一般都是通过逐步抽象化的概念来认识的，这个过程也是逐渐领悟抽象思维的过程。从对真实事物的直接抽象角度，可以认识1，2，3，4，5等比较小的自然数，但对于50，000，000和100，000，000这样较大的无法直接抽象化的自然数，大都超过了小学生可以理解的经验范围，所以对这种较大自然数的认识就需建立在已有的数学概念的基础上，从较小数的概念抽象化形成“序”的特征，这样学生才可以理解一个自然数加1，可得到下一个比它大1的自然数。

（二）数学推理基本思想的渗透

人的思维形式主要分为形象思维、辩证思维和逻辑思维三种。逻辑推理是逻辑思维的主要体现，它也是数学学科内部发展的基础。而数学推理基本思想，旨在通过推理，对数学研究对象之间的逻辑关系形成深刻的理解，促进推理能力的培养与提高，进而解决实际问题。

推理是由一个或几个命题判断得出另一个命题判断的思维形式与过程，主要分为归纳、演绎两种方式。演绎推理是数学中最常用的推理方法，它是从普遍性结论或者一般性的前提出发，推出个别或特殊结论过程的推理方法；归纳推理则是从一系列的具体事实出发而概括出一般原理过程的推理方法。小学数学的教学过程中，教师可引导学生对推理思想进行感受与领悟，同时结合具体的推理活动过程促进数学思维的形成。

以1道简单的混合运算题为例：4×21+59×4=？运用简便的方法计算这道题的结果时，教师可引导学生做分解：先依据乘法交换律，将题目转化成为：21×4+59×4，然后依据乘法分配律将其转换成：（21+59）

×4，然后通过运算顺序逐步计算结果。这道题的运算过程中，处处彰显了演绎推理，而学生经过这样的推理运算训练，其思维的周密性与条理性也会得到充分的训练，促进其数学理想与思想的萌芽以及发展。

（三）数学模型基本思想的渗透

数学模型思想，主要是指应用数学模型的方式，从特定的原型出发对实际问题进行处理与解决的一种思想。它在现实世界与数学的沟通中架起一座桥梁，将问题转化为数学模型进而解答。这种模型化的基本数学思想是在20世纪下半叶，伴随着计算机技术的不断发展与进步而逐渐发展起来的，它也是现代数学教学中解决实际问题的一种基本数学思想。

小学阶段的数学教学中，主要有两种基本模型：“每份数×份数=总数”和“部分量+部分量=总量”。第一种模型在我们的生活中更广泛的包含了单价、总价、数量，路程、时间以及速度等。例如，两栋建筑物，一栋高43米，另一栋的高度是其2倍还多22米，那么，第二栋建筑物高多少米？这道题的解决关键是引导学生应用方程式，寻找两栋建筑物之间的相等关系，然后将已知量和未知量置于同等地位，进而将问题解答，有利于学生思考过程的灵活和顺利。此类题目中所含有的方程式以及这类方程的一般形式“ax±b=c”，就是这类实际问题能够有效解答的数学模型。

总之，小学数学虽然较简单，却也蕴含很多深刻的数学思想。数学新课程标准也将“让学生获得数学基本思想”作为总目标之一，逐渐引导学生对获取数学基本思想的途径与要求不断进行“感悟”，进一步推进小学数学课程改革的进程，丰富并发展学生的数学素养。小学数学教师更应不断进行数学理论的学习和思考，科学开展教学实践和探索，努力实现新课程目标，为学生数学基本思想的获得发挥更深远的积极影响和巨大的指导作用。

　函数的核心即是：把握并刻画变化中的不变，其中变化的是“过程”，不变的是“规律”，是相关联的量的“关系”。学生愿意去发现规律并能够将规律表现出来的意识与能力，就是函数思想在教学中的渗透。

在小学低年级，主要发现给定的事物（事物、图形、简单数列）中隐含的简单规律，并以数学方式表示其情境，体验彼此相关的数量。描述事物的定性变化，如“我长高了”；或描述事物的定量变化“我在一年中长了4厘米”；或观察模式，并合理推测发展趋势，如找规律“1、1、2、1、1、2……”“◎□○◎□○……”。这样在早期数的学习阶段通过观察事物的变化，探索模式是学生对函数关系的初步体验。

2001年出版的《全日制义务教育数学课程标准》把探索规律做为渗透函数思想的一个重要内容。因此，在第二学段的知识目标中，要求学生能在具体情境中感悟“规律”，并逐步学会用字母或含有字母的式子表示规律。在这次数学教学比武中，肖老师的《用字母表示数》中猜猜老师的年龄，设计很恰当。从直观入手：生10岁，师比生大19岁，那么师29岁；回忆过去，生上一年级时6岁，师多大；展望未来，生18岁考上大学时，师多大。然后用语言来描述：什么变了，什么没变。通过几组数的计算和自由探索规律，发现随着时间的推移，师生的年龄都在变，可师比生大19岁这个关系不会变。最后把语言描述的关系式即探索出来的规律抽象为代数式，即当生a岁时，师是a+19岁，如果师t岁时，生是t-19岁。这样，从直观（图形、表象）——语言——代数式，三者有机结合，是数学学习的重要途径。肖老在渗透函数思想时，很好地把握了两条基本原则：①创设“变化”的过程，才能感受到函数思想；②激发学生“探究”的本性，于“变”中把握“不变”，满足人的好奇本性。这样探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势，使我们不仅能知道过去，还能预测未来，并掌握未来。

在小学阶段，除了用字母表示数，还有许多地方也蕴涵着丰富的函数思想，反映着有规律的事物，只是表达形式不一样：

1、数数，一个一个地数，两个两个的数……，“正”着数，“倒”着数。无论怎么数，都可以让学生体验、发现并描述出在数数过程中的“规律”。

2、计算中的规律：20以内加法表、九九乘法表中也蕴涵丰富的规律，同样，在“和不变”、“差不变”、“积不变”、“商不变”等条件下，两个数之间的关系，实际上，一个数就是另一个数的函数。

3、百数图中的规律：除了横、竖、斜的排列规律，还可以探究每一行中或每一列中相邻两个数的关系，甚至两行两列相邻4个数之间的关系，这些关系可以先用语言表述，然尝试用字母表示。

4、几何图形的变化规律：像一些基本几何图形都可以经过三角形变形而得到，并且面积也有密切的关系。

5、基本数量关系：周长、面、体积公式；总价、单价与数量；工作总量、工作效率与工作时间；路程、速度与时间及正比例、反比例等。

6、统计图：尤其是折线统计图，运行图本身就是函数的图像。

可以说函数无处不在，而小学阶段渗透函数思想，可以使学生了解一切事物处于不断变化的过程中，而且在变化过程中互相联系、互相制约，从而需要了解事物的变化趋势及其运动的规律。这对于培养学生的辨证唯物主义观点，培养他们分析和解决问题的能力，都有极其重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透函数思想，也可以为学生后续学习中学习数学，奠定良好的知识基础与学习经验的准备。

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